Новая интерактивная реальность

Стоит задача создания модуля-кейса по каждой теме  УМК. Вот пытаюсь найти  свой  путь. Но пока приходится   использовать то, что предлагает Интерурок.

Урок: Прямоугольный треугольник. Вычислительные задачи.

2. Задача 1

В прямоугольном треугольнике из вершины прямого угла опущена высота на гипотенузу.

Найти длины отрезков, на которые делится гипотенуза, если ее длина равна 17, а длина высоты равна 4.

Решение:

Воспользуемся одной из теорем о средних:, где  Кроме этого, нам известно, что 

Получаем систему:

Решение системы (по обратной теореме Виета): x, y являются корнями квадратного уравнения:

, корни для которого легко подбираются: 

Ответ: 1, 16

3. Задача 2

В прямоугольном треугольнике катеты относятся как 3:2, а высота делит гипотенузу на отрезки, один из которых на 2 больше другого. Найти длину гипотенузы.

Решение:

Применим теорему о среднем для катета a:

Применим эту же теорему для второго катета:

Получаем систему:

Следовательно,  

Ответ: 5,2

4. Задача 3

В прямоугольном треугольнике один из катетов равен 8, а радиус вписанной окружности равен 3. Найти радиус описанной окружности.

Решение:

1.      Отметим центр вписанной окружности (точка пересечения биссектрис).

2.      Опустим перпендикуляры на стороны, получим точки касания, проведем вписанную окружность.

3.      Отметим равные отрезки касательных.

4.      Запишем связь между касательными и сторонами.

В нашем случае: r = 3, а один из катетов равен 8. Пусть, например, a = 8. Тогда  .

5.      Применим теорему Пифагора:

6.      Вспоминаем, что радиус описанной окружности в прямоугольном треугольнике – это половина гипотенузы.

Ответ: 8,5

5. Задача 4

В треугольнике ABC проведена медиана CM, и она равна половине противоположной стороны AB (. Найти угол при вершине C.

Доказательство

равнобедренный =>,

равнобедренный =>.

Нам нужно найти

Сумма углов в треугольнике ABC равна , т.е. т.е.